Title: Matalýza 11

Jméno: V. 11. 1 (Poloměr konvergence)
Znění: [latex]Je dána mocninná řada. Pak $\exists R \in [0, \infty]$ t. ž. $\forall z \in \mathbb C$ platí
\begin{enumerate}[i)]
  \item $|z-z_0|<R \implies$ řada konverguje absolutně,
  \item $|z-z_0|>R \implies$ řada diverguje.
\end{enumerate}[/latex]
Důkaz: [latex]pomocná množina $\mathscr K \coloneq \left\{\rho \geq 0; \text{ posloupnost } \{|c_k|\cdot \rho^k\}\text{ je omezená}\right\}$
    zřejmě $\mathscr K \neq \emptyset (0 \in \mathscr K)$, položme $R\coloneq \sup \mathscr K$
    \begin{enumerate}[{ad} i)]
        \item nechť $z \in \mathbb C, |z-z_0|<R\implies\exists \rho: \rho >|z-z_0|, \rho \in \mathscr K$
            tj. $\exists C>0$ t. ž. $|c_k|\rho^k\leq C, \forall k$
            lze odhadnout: $|c_k(z-z_0)^k|=|c_k||z-z_0|^k = \underbrace{|c_k|\cdot\rho^k}_{\leq C}\cdot\underbrace{(\frac{|z-z_0|}{\rho})^k}_{\eqcolon \theta^k, \theta <1}\leq C \cdot \rho^k \stackrel{V. 10. 3.}{\implies}$ řada konverguje absolutně
        \item nechť $z \in \mathbb C, |z-z_0|>R\implies\underbrace{|z-z_0|}_{\eqcolon \rho}\notin \mathscr K$
            tj. $\{|c_k||z-z_0|^k\}_{k=0}^\infty$ není omezená
            ?? kdyby řada konvergovala, pak (dle V. 10. 1.) $|c_k(z-z_0)|\to 0, k \to \infty$
            $|c_k(z-z_0)^k|=|c_k||z-z_0|^k$ což není omezené $\implies$ \textsc{spor} \Lightning (V. 7. 2. ?))
    \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 11. 2
Znění: [latex]Je dána mocninná řada. Nechť $c_k \neq 0$, nechť $|\frac{c_{k+1}}{c_k}|\to r, k \to \infty$. Pak $R \coloneq \frac{1}{r}$ (zde rozumíme $\frac{1}{\infty}=0, \frac{1}{0}= \infty$) je poloměr konvergence řady.[/latex]
Důkaz: [latex]\textsc{trik}: užijeme V. 10. 4. (podíl krit.) na řadu $\sum b_k$, kde $b_k = |c_k||z-z_0|^k$ (BÚNO $z\neq z_0$)
    $\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{|c_{k+1}|}{|c_k|}\cdot \frac{|z-z_0|^{k+1}}{|z-z_0|^k}= \frac{|c_{k+1}|}{|c_k|}\cdot |z-z_0| \to r \cdot |z-z_0|$
      diskuze: \begin{enumerate}[1.]
     \item $\underline{r \in (0, \infty)}: \stackrel{V. 10. 4.}{\implies} \sum b_k$ konverguje, pokud $r\cdot|z-z_0|<1 \implies |z-z_0| < \frac{1}{r}$; $\sum b_k$ diverguje, pokud $r\cdot|z-z_0|>1 \implies |z-z_0| > \frac{1}{r}$
     $\implies$ mocninná řada $\begin{cases}
       \text{konverguje absolutně pro } |z-z_0| <\frac{1}{r},& \\\text{určitě diverguje pro } |z-z_0| >\frac{1}{r},&
       \end{cases}$
     \item $\underline{r=0}: \stackrel{V. 10. 4.}{\implies} \sum b_k$ konverguje $\forall z \in \mathbb C\implies R = \infty$,
     \item $\underline{r= \infty}: b_k \cancel{\to} 0, \forall z \in \mathbb C, z \neq z_0 \implies R = 0.$
   \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 11. 3
Znění: [latex]Je dána mocninná řada. Nechť $c_k \neq 0$, nechť $\sqrt[k]{c_k}\to r, k \to \infty$. Pak $R \coloneq \frac{1}{r}$ (zde rozumíme $\frac{1}{\infty}=0, \frac{1}{0}= \infty$) je poloměr konvergence řady.[/latex]
Důkaz: [latex]\textsc{trik}: užijeme V. 10. 5. (odmoc. krit.) na řadu $\sum b_k$, kde $b_k = |c_k||z-z_0|^k$ (BÚNO $z\neq z_0$)
  $\sqrt{k}{b_k}= \sqrt{k}{c_k} \sqrt{k}{|z-z_0|^k}=  \sqrt{k}{c_k} \cdot |z-z_0| \to r \cdot |z-z_0|$
    diskuze: \begin{enumerate}[1.]
   \item $\underline{r \in (0, \infty)}: \stackrel{V. 10. 5.}{\implies} \sum b_k$ konverguje, pokud $r\cdot|z-z_0|<1 \implies |z-z_0| < \frac{1}{r}$; $\sum b_k$ diverguje, pokud $r\cdot|z-z_0|>1 \implies |z-z_0| > \frac{1}{r}$
   $\implies$ mocninná řada $\begin{cases}
     \text{konverguje absolutně pro } |z-z_0| <\frac{1}{r},& \\\text{určitě diverguje pro } |z-z_0| >\frac{1}{r},&
     \end{cases}$
   \item $\underline{r=0}: \stackrel{V. 10. 5.}{\implies} \sum b_k$ konverguje $\forall z \in \mathbb C\implies R = \infty$,
   \item $\underline{r= \infty}: b_k \cancel{\to} 0, \forall z \in \mathbb C, z \neq z_0 \implies R = 0.$
\end{enumerate}[/latex]

Jméno: L. 11. 1
Znění: [latex]Řady $(M_1)\sum_{k=0}^{\infty}c_k(z - z_0)^k$ a $(M_2)\sum_{k=1}^{\infty}kc_k(z - z_0)^{k-1}$ mají stejný poloměr konvergence.[/latex]
Důkaz: [latex]označme $R_1, R_2$ poloměry konvergence řad $(M_1), (M_2)$
  $\stackrel{V. 11. 1.}{\implies} R_1 = \sup \mathscr K_1 \coloneq \left\{\rho \geq 0; \{|\tilde{c}_k|\rho^k\} \text{ je omezená}\right\}, R_2 = \sup \mathscr K_2 \coloneq \left\{\rho \geq 0; \{|\tilde{c}_k|\rho^k\} \text{ je omezená}\right\}$
  \begin{enumerate}[{ad} ]
    \item $\underline{R_2 \leq R_1}: |c_{k+1}|\rho^{k+1} \leq (k+1)|c_{k+1}|\rho^{k+1}$
    $|c_{k+1}|\rho^{k+1} \leq |\tilde{c}_k|\rho^k \cdot \rho,$ tedy pokud $\{\tilde{b}_n\}$ omezená $\implies \{b_k\}$ omezená $\implies \mathscr K_2 \subseteq \mathscr K_1 \implies R_2 \leq R_1$
    \item $\underline{R_2 \geq R_1}:$ ?? $R_2 < R_1$ \dots najděme $\rho_1, \rho_2$ t. ž. $R_2 < \rho_2<\rho_1<R_1$ a $ \rho_2 \notin \mathscr K_2, \rho_1 \in \mathscr K_1$
    $\underbrace{(k+1)|c_{k+1}|\rho_2^k}_{\text{neomezené, neboť } \rho_2 \in \mathscr K_2}=\underbrace{(k+1)\left(\frac{\rho_2}{\rho_1}^k\cdot \frac{1}{\rho_1}\right)}_{\to 0, k \to \infty}\underbrace{|c_{k+1}|\rho_1^{k+1}}_{\leq K\text{, neboť } \rho_1 \in \mathscr K_1}$ -- \textsc{spor} \Lightning
  \end{enumerate}[/latex]

Jméno: V. 11. 4
Znění: [latex]Nechť řada $\sum_{k=0}^{\infty}c_k(z - z_0)^k$ má poloměr konvergence $R > 0$. Označme
\[F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k (z - z_0)^k, \quad f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} k c_k (z - z_0)^{k-1}.\]
Potom $F'(z) = f(z)$ pro $\forall z \in U(z_0, R)$, kde $U(z_0, R) = \{z \in \C; |z - z_0| < R\}$.[/latex]
Důkaz: [latex]BÚNO $z_0 = 0, z \in \mathbb C, |z|<R$ pevné
  cíl: $\varphi(h)\to 0, h \to 0$, kde $\varphi(h)= \frac{F(z+h)-F(z)}{h}-f(z)$
  navíc: $0<|h|<\delta; \delta>0$ pevné t. ž. $|z+\delta|<R$
  $F(z+h)=\cancel{c_0}+\cancel{c_1(z+h)}+ \sum_{k=2}^{\infty} c_k (z+h)^k$
  $F(z) = \cancel{c_0} + \cancel{c_1(z)}+\sum_{k=2}^\infty c_k z^k$
  $f(z) = 0 + \cancel{c_1} + \sum_{k=2}^\infty k\cdot c_k \cdot z_{k-1}$
  $\varphi(h) = \sum_{k=2}^\infty c_k \cdot\frac{1}{h}\cdot [\underbrace{(z+h)^k}_{\mathclap{\textstyle =\cancel{z^k}+\cancel{kz^{k-1}h}+\sum_{j=2}^k \binom{k}{j} z^{k-j}h^j}}-z^k]-kz^{k-1} \stackrel{\text{binom. v.}}{=} \sum_{k=2}^\infty h\cdot c_k\cdot \underbrace{\sum_{j=2}^\infty {k\choose j} z^{h-j}\cdot h^{j-2}}_{\eqcolon S_k}$
  ukážeme, že $\sum_{k=2}\infty |c_k||S_k|<K$ nezávisle na $|h|<\delta$, pak $|\varphi(h)|\leq|h|\cdot K \to 0$
  odhady $S_k: S_k = \sum_{l=0}^{k-2} \underbrace{\binom{k}{l+2}}_{\mathrlap{\hspace{-1.5em}\textstyle = \frac{ k!}{ (l+2)!(k-l-2)!}= \frac{ k(k-1)(k-2)!}{\underbrace{\scriptstyle(l+2)(l+1)}_{\mathclap{\textstyle \geq 1}} l! (k-l-2)!}\leq k(k-1)\frac{(k-2)!}{l!(k-2-l)!}=k(k-1)\binom{k-2}{l}}}z^{k-2-l}h^l$
  $\implies |S_k| \leq k(k-1)\underbrace{\sum_{l=0}^{k-2} \binom{k-2}{l} |z|^{k-2-l}|h|^l}_{\textstyle \text{binom. v.: }(|z|+|h|)^{k-2}}$
  \textsc{celkem} $|S_k| \leq k(k-1)(|z|+|h|)^{k-2}$
  $\implies \sum_{k=2}^{\infty} |c_k||S_k| \leq \underbrace{\sum_{k=2}^\infty k(k-1) |c_k| \rho^{k-2}}_{\mathrlap{\hspace{-4em}\textstyle \eqcolon K < \infty \text{, neboť řada} \sum_{k=2}^\infty k(k-1) c_k z^{k-2} \text{ konverguje absolutně uvnitř kruhu}}}$, kde $\rho \coloneq |z|+\delta, \rho<R$[/latex]

Jméno: L. 11. 2
Znění: [latex]Pro $\forall x, y \in \C$ platí
\[\begin{aligned} \exp(x + iy) &= \exp(x) \left[ \cos y + i \sin y \right], \\ \sin x &= \frac{1}{2i} \left[ \exp(ix) - \exp(-ix) \right] = \frac{1}{i} \sinh(ix), \\ \cos x &= \frac{1}{2} \left[ \exp(ix) + \exp(-ix) \right] = \cosh(ix). \end{aligned}\][/latex]
Důkaz: [latex]\begin{align*}
  e^{x+iy}&=e^xe^{iy}= e^x\cdot\left[\sum_{k=0}^\infty \frac{(iy)^k}{k!}\right] = e^x\cdot\left[\sum_{l=0}^\infty \frac{(iy)^{2l}}{(2l)!} + \sum_{l=0}^\infty \frac{(iy)^{2l+1}}{(2l+1)!} \right]\\
  &= e^x\cdot\left[\sum_{l=0}^\infty (-1)^l\frac{y^{2l}}{(2l)!}+i\sum_{l=0}^\infty (-1)^l\frac{y^{2l+1}}{(2l+1)!}\right]=e^x\left(\cos y+i\cdot\sin y\right)
  \end{align*}[/latex]

Jméno: V. 11. 5
Znění: [latex]Nechť řada $F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k (z - z_0)^k$ má kladný poloměr konvergence. Potom $F^{(k)}(z_0) = k! c_k$ pro $\forall l = 0, 1, \dots$.[/latex]
Důkaz: [latex]$F(z) = \sum_{k=0}^\infty k! c_k \cdot Q_{z_0, k}(z)$, kde $Q_{z_0, k}(z) \coloneq \frac{(z-z_0)^k}{k!}$
   $\stackrel{l\text{-krát V. 11. 4.}}{\implies} F^{(l)}(z) = \sum_{k=0}^\infty k!c_k \cdot Q^{(l)}_{z_0, k}(z), \forall z \in \mathscr U(z_0, R)$
   speciálně pro $z=z_0: F^{(l)}(z_0)= \sum_{k=0}^\infty k!c_k \cdot \underbrace{Q^{(l)}_{z_0, k}(z_0)}_{\mathclap{\textstyle\stackrel{L. 8. 1}{=}\begin{cases} 1,&k=l \\ 0,&k\neq 1 \end{cases}}}$
   $\implies F^{(l)}(z_0) = l!c_l$[/latex]

Jméno: V. 11. 6
Znění: [latex]Nechť řady $F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k (z - z_0)^k$ a $\tilde{F}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \tilde{c}_k (z - z_0)^k$ mají kladný poloměr konvergence. Nechť $F(z) = \tilde{F}(z)$ na jistém $U(z_0)$. Potom $c_k = \tilde{c}_k$ pro $\forall k = 0, 1, \ldots$.[/latex]
Důkaz: [latex]$F\equiv\tilde{F}$ na $\mathscr U(z_0, \delta)\implies F^{(l)} \equiv \tilde{F}^{(l)}$ na $\mathscr U(z_0, \delta), \forall l\geq 0$
  speciálně $z=z_0: F^{(l)}(z_0) = \tilde{F}^{(l)}(z_0), \forall l \geq 0$
  $\stackrel{V. 11. 5}{\implies} \cancel{l!}c_l = \cancel{l!}\tilde{c}_l, \forall l \geq 0$[/latex]